В треугольнике АВС известны координаты его вершин. Найти уравнение стороны АС, уравнение высоты, проведенной из вершины В, длину этой высоты, угол А. А (-5;6) В (-6;-1) С (4;-6)
В треугольнике АВС известны координаты его вершин. Найти уравнение стороны АС, уравнение высоты, проведенной из вершины В, длину этой высоты, угол А. А (-5;6) В (-6;-1) С (4;-6)
Давайте по шагам разберем, как решить задачу, используя математические методы. Мы найдем уравнение стороны ( AC ), уравнение высоты из точки ( B ), длину этой высоты и угол ( A ).
Любая прямая на плоскости задается уравнением вида: [ y = kx + b, ] где ( k ) — угловой коэффициент (наклон), а ( b ) — свободный член.
Угловой коэффициент вычисляется по формуле: [ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, ] где ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) — координаты двух точек, лежащих на прямой.
Подставим координаты точек ( A(-5; 6) ) и ( C(4; -6) ): [ k = \frac{-6 - 6}{4 - (-5)} = \frac{-12}{9} = -\frac{4}{3}. ]
Уравнение прямой ( y = kx + b ). Подставим ( k = -\frac{4}{3} ) и координаты одной из точек, например, ( A(-5; 6) ): [ 6 = -\frac{4}{3}(-5) + b. ] Выполним вычисления: [ 6 = \frac{20}{3} + b \quad \Rightarrow \quad b = 6 - \frac{20}{3} = \frac{18}{3} - \frac{20}{3} = -\frac{2}{3}. ]
Таким образом, уравнение прямой ( AC ): [ y = -\frac{4}{3}x - \frac{2}{3}. ]
Или, умножив на 3 для более удобного вида: [ 4x + 3y + 2 = 0. ]
Высота из точки ( B ) должна быть перпендикулярна прямой ( AC ). Коэффициент наклона для перпендикулярной прямой ( k_h ) связан с ( k ) следующим образом: [ k_h = -\frac{1}{k}. ]
Угловой коэффициент ( k ) для ( AC ) равен ( -\frac{4}{3} ), тогда: [ k_h = -\frac{1}{-\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}. ]
Уравнение высоты, проходящей через точку ( B(-6; -1) ), имеет вид: [ y = k_h x + b. ] Подставим ( k_h = \frac{3}{4} ) и координаты точки ( B(-6; -1) ): [ -1 = \frac{3}{4}(-6) + b. ] Выполним вычисления: [ -1 = -\frac{18}{4} + b \quad \Rightarrow \quad b = -1 + \frac{18}{4} = -\frac{4}{4} + \frac{18}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}. ]
Таким образом, уравнение высоты: [ y = \frac{3}{4}x + \frac{7}{2}. ]
Или, умножив на 4 для удобства: [ 3x - 4y + 14 = 0. ]
Длина высоты ( h ) равна расстоянию от точки ( B(-6; -1) ) до прямой ( AC ), заданной уравнением ( 4x + 3y + 2 = 0 ). Формула расстояния от точки до прямой: [ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, ] где ( A, B, C ) — коэффициенты уравнения прямой, а ((x_1, y_1)) — координаты точки.
Подставим ( A = 4 ), ( B = 3 ), ( C = 2 ), ( x_1 = -6 ), ( y_1 = -1 ): [ d = \frac{|4(-6) + 3(-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}. ] Выполним вычисления: [ d = \frac{|-24 - 3 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-25|}{\sqrt{25}} = \frac{25}{5} = 5. ]
Длина высоты из точки ( B ) равна ( 5 ).
Угол ( A ) можно найти, используя скалярное произведение векторов. Сначала найдем координаты векторов ( AB ) и ( AC ): [ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-6 - (-5); -1 - 6) = (-1; -7), ] [ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (4 - (-5); -6 - 6) = (9; -12). ]
Формула для косинуса угла между векторами: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}, ] где: [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x_1x_2 + y_1y_2, ] [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}. ]
[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(9) + (-7)(-12) = -9 + 84 = 75. ]
[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}, ] [ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15. ]
[ \cos\alpha = \frac{75}{5\sqrt{2} \cdot 15} = \frac{75}{75\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. ]
Значит, угол ( A ) равен: [ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ. ]
Для нахождения уравнения стороны AC, уравнения высоты, проведенной из вершины B, длины этой высоты и угла A в треугольнике ABC с заданными вершинами A(-5; 6), B(-6; -1) и C(4; -6), необходимо выполнить несколько шагов.
Сначала найдем координаты вершин A и C:
Сначала вычислим наклон (угловой коэффициент) прямой AC по формуле: [ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-6 - 6}{4 - (-5)} = \frac{-12}{9} = -\frac{4}{3} ]
Используя точку A для записи уравнения прямой в форме (y - y_1 = k(x - x_1)): [ y - 6 = -\frac{4}{3}(x + 5) ] Упрощаем уравнение: [ y - 6 = -\frac{4}{3}x - \frac{20}{3} ] [ y = -\frac{4}{3}x + 6 - \frac{20}{3} ] [ y = -\frac{4}{3}x - \frac{7}{3} ]
Таким образом, уравнение стороны AC: [ y = -\frac{4}{3}x - \frac{7}{3} ]
Теперь найдем уравнение высоты, проведенной из вершины B. Высота из точки B перпендикулярна стороне AC, поэтому наклон высоты будет равен обратному значению отрицательного углового коэффициента: [ k_{BH} = \frac{3}{4} ]
Используя координаты точки B(-6, -1): [ y + 1 = \frac{3}{4}(x + 6) ] Упрощаем: [ y + 1 = \frac{3}{4}x + \frac{18}{4} ] [ y = \frac{3}{4}x + \frac{18}{4} - 1 ] [ y = \frac{3}{4}x + \frac{14}{4} = \frac{3}{4}x + \frac{7}{2} ]
Таким образом, уравнение высоты BH: [ y = \frac{3}{4}x + \frac{7}{2} ]
Длина высоты можно найти, вычислив расстояние от точки B до прямой AC. Для этого сначала приведем уравнение AC к общей форме (Ax + By + C = 0): [ \frac{4}{3}x + y + \frac{7}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x + 3y + 7 = 0 ] Здесь (A = 4), (B = 3), (C = 7).
Расстояние (d) от точки B до прямой можно найти по формуле: [ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ] Подставляем (B(-6, -1)): [ d = \frac{|4(-6) + 3(-1) + 7|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-24 - 3 + 7|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-20|}{5} = 4 ]
Таким образом, длина высоты BH равна 4.
Для нахождения угла A в треугольнике ABC можно воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя векторами. Векторы AB и AC: [ \vec{AB} = B - A = (-6 + 5, -1 - 6) = (-1, -7) ] [ \vec{AC} = C - A = (4 + 5, -6 - 6) = (9, -12) ]
Теперь найдем скалярное произведение векторов и их длины: [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 9 + (-7) \cdot (-12) = -9 + 84 = 75 ] [ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ] [ |\vec{AC}| = \sqrt{(9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 ]
Теперь можем найти косинус угла A: [ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{75}{(5\sqrt{2}) \cdot 15} = \frac{75}{75\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow A = 45^\circ ]
